勾股定理的故事（勾股定理的奇妙故事）

如今有很多人在思考如何才能将我们的社会和数学正确地关联起来。难道数学仅仅是一个助你大学毕业、成功迈入职场，从而实现人生现实目标的工具？难道数学落在普罗大众的手里只能是废铜烂铁，只有在精英人士的手中才能变成强兵利刃？如果一辈子都用不上自己的所学所得，学习数学还有没有意义？很多人都在担心，将来的工作可能完全用不到之前学到的那些数学知识。
如今，包括那些核心岗位在内，数学工具在每个工作领域中都占据着相当重要的地位；全世界市值最高的四个公司全部是科技公司，这意味着权力越来越集中在那些数学能力极强的人的手中。
不仅如此，年轻人日常生活中使用的各种工具也和数学有着千丝万缕的联系。比如搜索引擎可以满足我们每一次突如其来的好奇心，其核心算法就是线性代数；屏幕上的各种广告也是基于博弈论推送到我们面前的。
再比如已经变成数字管家的智能手机，可以在代数的帮助下把我们的数据锁在一个个橱柜里，在基于统计学设计出的传感器的帮助下准确识别我们的语音指令，在解压缩算法的帮助下播放出一段段令人身心愉悦的美妙音乐。
研究表明，对数学感到焦虑的父母会把这种焦虑传递给孩子。
如果你问我为什么学习数学，我会回答：“因为数学能够帮助人们焕发应有的光彩。”

本文出处：《数学的力量：让我们成为更好的人》，[美]弗朗西斯·苏著，沈吉儿、韩潇潇 译，中信出版集团2022年6月版。
换句话说，数学能够让人繁荣发展。
我所认为的繁荣，指的是知行合一，指的是每个人都能在充分发挥自己潜能的同时帮助他人挖掘潜能，指的是行事果敢自信，懂得尊重他人，即便身处逆境也坚持自我。这里的繁荣不等同于幸福快乐，也不单指某种心态，而是代表着人类良好的生活状态。
我认为适当的数学训练有利于人们形成丰盈的美德。
数学对我们来说到底有什么价值？
当人们问：“我这辈子真的有机会用到数学知识吗？”他们实际想问的是：“数学对我来说到底有什么价值？”

电影《美丽心灵》（2001）剧照。
土星环围绕在土星周边，位于赤道平面之上。从远处看，它们就像一条条静止不动的环状绸带，但事实上它们的主要成分是巨型岩石（小卫星），这些岩石内含有大量水冰，在重力的影响下绕土星旋转。天文学家伽利略在望远镜的帮助下于1610年成为历史上第一个观测到土星环的人。当时他并不确定自己看到的是什么，便打趣地将其称为“耳朵一样的东西”。后来在其他天文学家的努力下，人们终于确定，这是土星的环状结构，环与环之间存在许多空隙。在旅行者号探测器的帮助下，我们掌握了环状结构的精密细节，比如高密度波纹和低密度波纹的分布模式，酷似老式黑胶唱片上的凹槽。
某些环状结构其实可以用数学规律来解释。所有与土星距离相等的冰岩绕土星公转所需要的时间相等，换句话说，它们具有相同的轨道周期。冰岩距离土星越远，受到的引力就越小，相应的轨道周期就更长，速度就更慢。为了更加直观，我们可以把这些土星环想象成田径跑道。和外圈的运动员相比，内圈的运动员会更占优势，单圈长度更短。
当冰岩轨道周期和土星卫星轨道周期呈现整数比的时候，我们就能看到一些较为特殊的现象。假设现在有一块冰岩在内圈运动，还有一颗卫星在外圈绕土星运转，在内圈的冰岩跑完两圈时在外圈的卫星刚好跑完一圈。也就是说，冰岩每运动两个周期就能在同一个位置上和卫星擦肩而过。
就是在这每一次擦肩的瞬间，卫星对冰岩的引力作用最强。由于每次引力极值都发生在同一个位置，二者之间的引力强度便会越来越高，逐渐让冰岩轨道产生扰动。这很像你在后面推一个小孩荡秋千，你的推力和秋千同步了，孩子就能荡得更高。由于和土星距离相同的那些冰岩具有相同的轨道周期，它们都有偏离轨道的趋势，这就是所谓的共振效应。这种效应强到一定程度时就会迫使环状结构之间产生裂缝。

土星内轨道上的冰岩即将超越土卫一。如果冰岩总是反复在同一位置上超越土卫一，那么日积月累之下，土卫一的引力作用就会迫使冰岩逐渐偏离轨道（《数学的力量》内页插图）
土卫一附近存在一个冰岩轨道，二者轨道周期比例恰好为2∶1，相应的共振催生了最大的土星环缝，也就是宽达3000英里的卡西尼缝（Cassini division）。其实，更小的整数比（例如3∶2或者4∶3）也会形成类似的共振效应，只不过没有前者那么显著，最终的效果与其说是裂隙，不如说是波纹。卫星与冰岩之间的共振效应，可以解释土星环中的许多特征。这些冰岩在引力的作用下翩跹于轨道之上，将冰冷的数字（前面那些简分数）呈现为一支支美轮美奂的舞蹈！
数学的本质是探索，而不是记忆
数学研究的根本就在于探索和理解。
探索不仅是人类内心深处的潜在渴求，也是人类繁荣的标志。
游戏就是一个最好的例子，尤其是策略游戏，博弈过程中往往会涌现出各种奇妙的数学问题，将探索精神展现得淋漓尽致。
Achi是一种流行于西非加纳阿散蒂人之间的双人策略游戏。游戏双方各持4枚棋子，交战于一张3×3的网格状棋盘（由3条横线、3条竖线、两条对角线构成，9个交汇点构成9个空位）之上。乍一看跟井字棋很像，但细节上又有着微妙的不同。游戏开始后，两名选手轮流将自己手中的棋子放在心仪的空位上，最先将3枚棋子连成一条直线的人获胜。如果8枚棋子落定，双方均未连出直线，那么棋盘上必然还存在一个没有棋子的空位，此时对局进入第二阶段，双方轮流将己方棋子沿直线移动到剩余的那个空位上，但不允许跳棋，率先连成直线的一方将赢得比赛。

此时8枚棋子全部落定，胜负未分，游戏进入第二阶段，玩家要轮流将自己的某个棋子移动到空位上，直到有人连出直线获得胜利（《数学的力量》内页插图）
以上便是Achi的标准游戏规则，虽然看起来条理清晰，其实规则仍有很多模糊之处。比如，第二阶段某人4枚棋子全部卡住动弹不得怎么办？是不是只要双方积极对弈（决不放弃任何赢得比赛的机会）就能避免棋子卡住？就算棋子没有卡住，难道选手就不能跳过此回合选择静观其变吗？数学分析能够帮你解答这些问题，告诉你如何抉择才能让对局变得更加扣人心弦。既然存在这么多特殊情况，我们不禁会产生这样的疑问：Achi会不会一直玩下去，陷入无人能够取胜的僵局？游戏是否存在某种必胜策略（无论一方如何出招，另一方都能获取最终的胜利）？能否把交战双方的棋子从4枚减少到3枚？能否重新设计棋盘，创造出更有趣的玩法？
能够提出这样的问题，说明你已经是数学探索者，试图寻求游戏万般变化所依据的数理逻辑。
我们必须时刻警醒自己，数学的本质是探索，而不是记忆。
有经验的数学老师会循循善诱，培养我们的探索精神。阮芳就是这样一位数学教师，她曾对同行们提出过一个倡议：“评判教学质量的依据，不应看学生交出了怎样的答卷，而应看学生提出了怎样的问题。
基础数学研究往往也会（通常都是很多年以后）带来令人赞叹的实际应用。
比如对素数本源的探究促进了密码学的发展；对拓扑学纽结理论的探索如今应用到了蛋白质折叠规则中，拉东变换（Radon transform）原理逐渐成为CAT扫描技术的数学原理。
英国数学教师兼科普作家本·奥尔林（Ben Orlin）曾在令人拍案叫绝的《欢乐数学》（Math with Bad Drawings）一书中分析了什么是枯燥乏味的问题，什么是值得探索的问题，以及二者之间的区别。他举了这样一个例子：
现有一个长11米、宽3米的矩形，请你求出它的面积和周长。
这个问题相当无聊，因为它把面积和周长两个有趣的概念硬生生地变成了数学公式的计算，根本是捡了芝麻丢了西瓜，让人摸不清数学概念的真实意义。
本·奥尔林在书中这样表示：“这只是将两个数字简单相乘，没能让你明白‘面积’实际上指的是填满这个矩形到底需要多少个1×1大小的正方形。”即便你做了20道类似的数学题，你对几何学仍然可能一窍不通。图中的问题才是一个更有趣的、更具有探索价值的问题。

《欢乐数学》中的插图按照作者本·奥尔林自谦的说法，这是一张潦草的涂鸦（《数学的力量》内页插图）
的确，这样提问就好多了，趣味性可以说是直线上升，而且能够帮助你深度理解矩形的本质。奥尔林表示，这个问题还可以继续“进化”——“请你构建两个矩形，使前者的周长是后者的两倍，而后者的面积是前者的两倍。”跟这样的好问题较劲，可以培养属于你自己的认知方式，形成属于你自己的解题思路。这才是最棒的学习体验。
每个人都是一名数学探索者
探索可以培养我们对赋魅的期待。
数学当中也存在着同样令人期待和渴望的“怪兽”，空间填充曲线（space-filling curve）便是其中之一，这是一条能遍及正方形内每一点的曲线。尽管这条曲线无法用画笔绘制出来，但数学可以证明它的确存在。这种怪异的曲线如今已经被科学家应用到了计算机科学和图像处理等领域。

图中这类极致形态的曲线就是空间填充曲线，每次变化之后，它们都会以更蜿蜒曲折的方式穿过给定的平面区域。没错，数学中确确实实存在这种神奇的极限形式（《数学的力量》内页插图）
另一只“怪兽”叫作巴拿赫-塔斯基悖论，它证明了一个令人难以置信的结论：一个实心球可以切分成5份，然后重新组合成两个和原实心球同样大小的新实心球。肯定有人会问：如果真这么厉害，你为什么不拿金球去分割呢？答案很简单——真实空间不能像理想化空间那样可被无限分割——现实事物的本质与数学模型之间存在一定差距。
如果能够以探索的眼光来审视生活，你就会发现每一道风景背后都埋藏着不为人知的宝藏，你需要做的就是锻炼自己的创造性思维，推测出宝藏的位置，然后把它们挖掘出来。
琳达·古戸发现，无论是海洋动力学还是潜水极限时长的优化，其实身旁到处都能看到数学的应用。
以数学探索者的眼光去审视世界不仅有利于加深对海洋生物学的理解，还能促进对海洋生态环境的保护——线性函数可以模拟藻类侵入对珊瑚礁的危害，矩阵可以描述海洋残骸的富集过程，二次方程可以规划有限岛屿资源的可持续发展之路。
我们天生就有求知的欲望和推理的能力，每个人都是一名数学探索者。
当你展开头脑风暴试图想出一些行之有效的策略来解决问题时，你会遇到这样一个阶段，在这个阶段你必须弄清问题的真正含义，同时你还要剔除那些无关紧要的细节以便将问题归类，然后在脑海中思索这个问题和你之前解决过的那些问题有何关联。这个过程其实就是在剖析问题，找出问题的本质。
想要抓住问题的本质，弄清它的意义或含义，你就必须找到这个问题和其他事物的关联。比如每当你思考生命的意义，你实际上就是在思考自己在宇宙中所扮演的角色。每当你想要弄清奇异事件的意义，你实际上并没有把它当作一个孤立事件，而是将它和其他事件放到一起，思考它的前因后果。再比如你想在字典里查找某个单词的含义，你会发现这个词必须放到句子中才能做出具体解释。
每个数学概念都伴随着多个隐喻
数学概念也是一种隐喻。
我们以数字7为例。想要跟大家分享和数字7相关的趣味知识，你在聊天的时候就得把它和其他事物放在一起。
我们说数字7是素数，实际上是在谈论它和因数（那些能整除它的数字）之间的关系。
我们说数字7在二进制中可以写作111，实际上是在探讨它和数字2之间的联系。我们说数字7是一周的天数，实际上是在告诉大家它和日历之间也能产生有趣的“化学反应”。因此，数字7既是一个抽象的概念，也是几种具体的隐喻：一个素数，一个二进制数，一周的天数。
同理，勾股定理也不仅仅是关于直角三角形三边关系的陈述，从隐喻的角度来看，它同时也是你新学到的每一个能够阐释勾股定理为什么正确的证明、你新发现的每一个能够展现勾股定理实用性的应用。因此，每当你遇到新的证明方法，看到新的应用方式，勾股定理对于你的意义都会随之加深。
每个数学概念都伴随着多个隐喻，正是这些隐喻塑造了数学概念对于人们的意义。
没有任何概念能够独立存在，因为独立会使其消亡。
意义是人类最本能的一种渴求。
对意义的不断追求，可以帮助人们培养某些相当重要的优秀品格。
首先，它可以培养我们构建故事的能力。几千年来，人们一直都在以故事为载体来记述历史、传承真理。故事可以将彼此毫不相干的事件串联起来，在听众和故事之间，以及听众和听众之间建立起一种微妙的联系。数学也一样，想要寻求数学的意义，将各种数学概念串联起来是一个不可或缺的过程，能做到这一点的人会自然而然地变成故事的构建者、传播者。
抛开对象之间的关系，孤立地看待某个对象本身，其实没有什么意义。而函数就意味着某种关系。函数可以被视为一个“故事”。
构建故事的方法多种多样，我们不妨仍以勾股定理为例。根据勾股定理，直角三角形三条边的边长a、b、c满足以下关系：
其中c是斜边（最长的那条边）的边长。
我们可以构建一个讲述几何关系的故事：利用直角三角形的三条边画出三个正方形，你会发现勾股定理实际上意味着：两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。

我们也可以构建一个故事来阐释这条定理的重要意义：“勾股定理是整个三角学的基础，也是几何学中尤为关键的一个定理。”
我们还可以构建一个以史实为基础的故事，把勾股定理放到历史背景当中：“毕达哥拉斯学派对该定理的证明，比欧几里得对该定理的证明早了好几个世纪。”
数学探索者们更喜欢解释性的故事。换句话说，他们更喜欢定理的证明过程。
下图完美诠释了什么叫作“无字证明”——巧妙地把正方形分割成几个不同区域，就能说明勾股定理的正确性。仔细观察下图中两两对应的区域我们就会发现，大正方形的面积刚好等于两个小正方形的面积之和。（这种分割方法适用于任意一个直角三角形，具体原理值得你认真思考一番。）

勾股定理还可以构建一个物理故事。
如果把一个速度的矢量形式分解成水平方向和垂直方向的两个分量，你就会得到一个矢量形式的直角三角形。另一方面，矢量线段的长短代表速度的大小，而动能刚好与速度大小的平方成正比。根据勾股定理，将物体沿斜线推出所需要的能量，等于将物体沿水平方向推出所需要的能量与将物体沿竖直方向推出所需要的能量之和。
你还可以通过游戏、探究式学习、制作实物模型等方式来构建一个互动性的故事。比如你可以亲自体验一下木匠用木棍创造直角的小技巧：考虑到32+42=52，你可以先把两根木棍的端点拼在一起，随便摆出一个角度，然后以这两个相互重叠的端点为原点，在某根木棍3个单位长度的地方做一个标记，在另一根木棍4个单位长度的地方做另一个标记，然后耐心调整角度，使得两个标记之间的距离刚好为5个单位长度。然后你就会发现，此时的角度恰好就是一个直角。
构建故事是记忆新知识的重要手段。如果能把各种知识合理地融入故事中，记住它们就不再是一件令人头疼的事了。
对意义的不断追求，还可以锻炼我们的抽象思维能力。
人们总觉得抽象思维脱离实际，其实恰恰相反，抽象思维能够让事物的实际意义变得更丰富。当你发现两个事物具有相似的结构脉络或行为模式时，这种相似就建立了一种联系，你就发现了一种前所未有的实际意义。
庞加莱有句名言：“所谓数学，本质上就是给不同事物起同一个名字。”
如果你这辈子只见过一条狗，而且它恰好是一条德国牧羊犬，那么你可能会觉得，“狗”这个概念等同于德国牧羊犬。只有不断见到更多的狗，你才会明白，“狗”的含义可不仅仅是你之前认为的那样狭窄。之所以说抽象思维能够丰富实际意义，是因为抽象思维可以帮你建立样本库，提炼出事物的本质，比如认识狗。如此一来，你就能看到不同事物之间的共通之处。
数学学习过程中的核心内容就是不断追寻各种意义
学习代数有很多好处，其中相当关键的一点就是它能帮助我们看到问题较为抽象的一面。
它能将我们塑造成思维灵活的人，帮助我们认清事物之间的规律和联系，根据缜密的推理找到解决某一类问题的“万能钥匙”。利用代数，我们给出了计算复利、卡路里的消耗、掷硬币的概率的通用公式，这些公式不仅能解决眼前的问题，也能解决情形不同但类型相同的其他问题。

电影《美丽心灵》（2001）剧照。
从狭义的角度来看，二次方程求根公式只能用来求解二次方程，但如果把视野放宽，我们就会发现其实很多问题最终都能简化为对二次方程求解。抽象思维可以让我们的思考方式更灵活，无论对何种职业来说这都是一项必不可少的技能。既然现在我们可以针对多种不同情况总结出一个通用公式，那么将来我们就可以把这种能力应用到更广的范围中，比如写出一段可以轻松处理任意大小的输入值的计算机程序，或者建造一座能够容纳各行各业人士的摩天大楼。
抽象思维能力带给我们的巨大收益不仅体现在职业生涯中，还体现在生活的各个方面。分析问题时，我们不是经常需要剥离无关细节、直指问题核心吗？看待问题时，我们不是经常需要站在不同角度、全面认知事物吗？学好数学，不是会让我们在这些方面更加得心应手吗？答案不言自明。
对意义的不懈追求可以顺带培养我们坚韧不拔、沉着思考的品格。只有不断思考，才能辨明某个思想的真正意义。
数学学习过程中的核心内容就是不断追寻各种意义。
所谓数学，就是研究各种规律的科学，同时也是一种不断探寻各种规律的意义所在的艺术形式。
本文选自《数学的力量：让我们成为更好的人》，较原文有删节修改。小标题为编者所加，非原文所有。已获得出版社授权刊发。
原文作者/ [美]弗朗西斯·苏
摘编/安也
编辑/宫子
校对/柳宝庆